次の整式を因数分解せよ。
a^6 - b^6
(x^2 + 4x)^2 + 4(x^2 +4x) + 3
a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -24
答え、
a^6 - b^6
(x^2 + 4x)^2 + 4(x^2 +4x) + 3
a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -24
三番目が自力で解けなかったので、Wolfram|Alphaを試してみた。しかし、Wolfram|Alphaにも解けないようだ。
ちなみに、三番目は、展開した後に、なんとか(a - b)、(b - c)、あるいは(c - a)など、とにかく何でもいいが、複数の共通な係数を作りだすことに注力すれば解ける。ただ、そういう処理を頭の中で行うことは、なかなかに難しい。似たような形の式を、以前にも因数分解したことがあれば、目的とする形に式をもっていくことは、それほど難しくないが、始めて見る形の式だと、どうしていいのか分からずに頭を抱えたまま時間を浪費することになる。残念ながら王道は存在しない。ただ練習有るのみ。
7 comments:
3番目は(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24として，x^2+5x=Xとでも置いて展開すると楽ですね
(X+4)(X+6)-24=X^2+10X=X(X+10)=x(x+5)(x^2+5x+10)
げげ!これ4番目でした・・・コメ欄汚してすいません・・・
たとえ何百のコメントがあろうと、困るのはリソースを浪費してしまうGoogleであって、私ではありませんのでご安心を。
> a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)
> ただ、そういう処理を頭の中で行うことは、なかなかに難しい。
これですが、この手の対称式を因数分解するパターンは定石があって、
f(a,b,c) = a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)
f(a,b,a) = 0 つまり、cをaと置換すると右辺が0になります。
よって、因数分解したときに(c-a)の項があるのは確定します。
対称式なので(a-b)と(b-c)の項もあることが確定して、fはX(c-a)(b-c)(a-b)と因数分解できることは確定します。
その状態で、積の回数を見ると3つの項を掛けてあって、元の式も a(b^2の部分をみるとa×b×bと3つの項が掛けてあるから次数調整は不要で、Xは単なる定数なので、この係数合わせだけすれば因数分解が完了します。
> 三番目が自力で解けなかったので、Wolfram|Alphaを試してみた。しかし、Wolfram|Alphaにも解け
何故か、
a*(b^2 - c^2) + b*(c^2 - a^2) + c*(a^2 - b^2)
と入力すれば解けます。
何故か答えが違うと思ったら、
ただしくはこうだった、
a*(b^3 - c^3) + b*(c^3 - a^3) + c*(a^3 - b^3)
もちろん対称式というのもレベルの高い考え方でありますが、
この手の多変数の因数分解では「一つの文字に注目して整理する」というのが定石になっています
a(b^3-c^3)+b(c^3-a^3)+c(a^3-b^3)
=-(b-c)a^3+(b-c)(b^2+bc+c^2)a-bc(b-c)(b+c) aについて整理
=-(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)*a+bc(b+c)} 共通因数で括る
=-(b-c){(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c+a)(c-a)} bについて整理しなおす
=-(b-c)(c-a){b^2+cb-a(c+a)} 共通因数で括る
=-(b-c)(c-a)(b-a)(b+c+a)
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)
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